Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology
DE Deutschland, Alemania, Allemagne, Germania, Germany
Algebra, Álgebra, Algèbre, Algebra, Algebra
Homologische Algebra, Álgebra homológica, Algèbre homologique, Algebra omologica, Homological algebra
Kommutative Algebra, Álgebra conmutativa, Algèbre commutative, Algebra commutativa, Commutative algebra
Lineare Algebra, Álgebra lineal, Algèbre linéaire, Algebra lineare, Linear algebra

A

Algebra (W3)

Dt. "Algebra" (span. "álgebra", frz. "algèbre", ital. "algebra", engl. "algebra") geht zurück auf arab. "al-gabr" = wörtlich dt. "die Einrenkung (gebrochener Teile)".

Der arabische Mathematiker "Al-Hwarizmi" (vgl. "Algorithmus") verfasste im 9. Jh. ein Werk, das auch ein Kapitel über "die Wiederherstellung" einer positiven Zahl (arab. "gabara" = "wiederherstellen") enthielt.

Dabei ging es um die Umformung einer Gleichung der Art
x = y - z
zu
x + z = y

Dt. "Algebra" kommt im Titel arab. "al-kitab al-muhtasir fi hisab al-gabr wa-l-muqabala" = dt. "Das kurzgefasste Buch über Rechnen mit Ergänzen und Zusammenfassen von Ausdrücken" des arabischen Gelehrten "al-Hwarizmi" (ca. 780-850) aus dem 9. Jh. vor. Aus dem Ausdruck "al-gabr" im Titel wurde später "Algebra".

Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Lehre von den mathematischen Gleichungen, von den Beziehungen zwischen mathematischen Größen und den Regeln, denen sie unterliegen, behandelt.

Dazu gehören die Lösungsmethoden algebraischer Gleichungen. Für lineare und quadratische Gleichungen waren Lösungen schon im Altertum bekannt, im 16. Jahrhundert fand man die Lösungen der Gleichungen 3. und 4. Grades.

Der Fundamentalsatz der Algebra lautet "Jede algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt genau n Lösungen". Er wurde 1799 von C.F. Gauß bewiesen.

In der modernen Mathematik versteht man unter Algebra die Untersuchungen algebraischer Strukturen wie "Gruppe", "Ring", "Körper" und ihrer Verknüpfungen.

Begriffe und Methoden der Algebra werden in vielen Bereichen der Mathematik (wie Analysis, Topologie), in der theoretischen Physik u.a. naturwissenschaftlichen Gebieten angewendet.

(E?)(L?) http://cevastiko.ce.ohost.de/die-mathematik/wbuch-31.xml

(lineare) Algebra - Deutsch-Englisch


(E?)(L?) http://cevastiko.ce.ohost.de/die-mathematik/wbuch-32.xml

(lineare) Algebra - Englisch-Deutsch


(E?)(L?) http://www.die-mathematik.de/
Algebra | Algebraischer Körper | Lineare Algebra

(E?)(L?) http://www.heinrich-tischner.de/22-sp/9sp-ecke/artikel/200/2004/04-01-27.htm

...
... persischen Mathematiker "Muhammad ibn Musa", nach seinem Heimatort "al-Chwarismi" genannt. Er lebte im 9. Jahrhundert und schrieb ein Mathematikbuch, dessen verkürzter Titel "al-Dschabr" "Einrenkung" in einem anderen mathematischen Fachausdruck weiterlebt, nämlich "Algebra" "Rechnung mit Gleichungen".
...


(E?)(L?) http://www.owid.de/pls/db/p4_suche_elex.Stichw_alpha?v_Buchst=S
Schaltalgebra

(E?)(L?) http://www.spasslernen.de/algebra/index.htm


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik, das sich der Struktur, Relation und der Menge widmet. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel x + 1 = 2).

Inhaltsverzeichnis

Wortgeschichte
Eine der ersten Darstellungen der Algebra ist das "Aryabhattiya", ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers "Aryabhata" aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde "Bijaganitam" genannt. Ab dem 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten dann muslimische Gelehrte diese Methode, die sie "al-gabr" (von arab.: "das Ergänzen"/"das Einrichten") nannten. Der Begriff ist aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs "al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala" ("Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen", entstanden um 825) des Mathematikers und Universalgelehrten "al-Chwarizmi" entnommen, der im 9. Jahrhundert in Bagdad wirkte. Vier Jahrhunderte nach der Publikation des Buches erschien seine lateinische Übersetzung "Ludus algebrae almucgrabalaeque". Aus "al-gabr" entwickelte sich das heutige Wort "Algebra".
...


(E1)(L1) http://www.workpage.de/etym.php


(E1)(L1) http://ngrams.googlelabs.com/graph?corpus=8&content=Algebra
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Algebra" taucht in der Literatur um das Jahr 1660 / 1750 auf.

Erstellt: 2011-10

Algebra (W3)

Begriffe die in der Algebra vorkommen: Namen die in der Algebra vorkommen:

algebraicsurface
Algebraische Oberflächen

(E?)(L?) http://www.algebraicsurface.net/

Bilder Animationen Visualisierungs-Software

Es gibt viele Seiten mit Bildern algebraischer Flächen im Netz. Hier eine Auswahl:

Einige meiner Seiten:

Kubische Flächen, Meine SuSE-Linux Titelbilder, Flächen mit vielen Singularitäten.

Einige andere Seiten:

S. Endraß' Seite über Flächen mit vielen Singularitäten, Flächen-Bilder von H. Hauser und S. Gann, Steiner Surfaces (von A. Coffman), Some Beautiful Surfaces (von B. Hunt).


Erstellt: 2011-10

B

C

D

E

F

G

gierhardt
Formelsammlung - Algebra

(E?)(L?) http://www.gierhardt.de/mathematik/Formelsammlung.pdf

Kleine Algebra-Formelsammlung
Mittelstufe (bis Klasse 10)
Dargestellt sind die wichtigsten Fakten und Gesetze, wobei diverse Ausnahmeregeln wie z.B. das Verbot der Division durch Null nicht immer angegeben sind.
...


Erstellt: 2011-10

Gruppe (W3)

(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppe.html#Gruppe

Unter einer Gruppe (G,*) versteht man eine nichtleere Menge G mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Auf G existiert eine (innere) Verknüpfung *, d. h. je zwei Elementen a und b aus G ist ein drittes Element a*b aus G zugeordnet.

(2) Die Verknüpfung ist assoziativ, d. h. für alle a, b und c aus G hat man a*(b*c) = (a*b)*c.

(3) Es gibt ein Einselement e von (G,*), d. h. für alle a aus G gilt: e*a = a = a*e.

(4) Zu jedem a aus G existiert ein inverses Element a**-1 aus G mit: a*a**-1 = e = a**-1*a.

Eine Gruppe (G,*) heißt kommutativ oder abelsch (Niels Henrik Abel), wenn * kommutativ ist, d. h. wenn für alle a und b aus G gilt: a*b = b*a.


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie

...
Beispiele für abelsche Gruppen sind ...


Erstellt: 2011-10

H

Halbgruppe (W3)

(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppoid.html#Halbgruppe

Unter einer Halbgruppe (G,*) versteht man ein Gruppoid (G,*), in dem das Assoziativgesetz gilt, d. h. für alle a, b und c aus G hat man

(12) a * (b * c) = (a * b) * c.


Erstellt: 2011-10

Halbring (W3)

(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/halbring.html#Ring

Unter einem Halbring (S,+,*) versteht man eine nichtleere Menge S, auf der zwei (innere) Verknüpfungen, eine Addition + und eine Multiplikation *, definiert sind, so daß die folgenden Axiome gelten.

(1) (S,+) ist eine Halbgruppe.
(2) (S,*) ist eine Halbgruppe.

Es gelten das linksseitige Distributivgesetz

(3) a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

und das rechtsseitige Distributivgesetz

(4) (b+c)*a = (b*a) + (c*a)

jeweils für alle a, b, c aus S.

Man verabredet üblicherweise, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition, und läßt das Multiplikationszeichen meist weg, also kurz (3) a(b+c) = ab + ac bzw. (4) (b+c)a = ba + ca.

Ist in einem Halbring (S,+) kommutativ, so spricht man von einem additiv kommutativen Halbring, ist (S,*) kommutativ, so spricht man von einem multiplikativ kommutativen Halbring. Entsprechend verfährt man bezüglich der Idempotenz beider Verknüpfungen. Sind beide Verknüpfungen kommutativ (idempotent), so nennt man (S,+,*) einen kommutativen (idempotenten) Halbring. Mit E+ werde allgemein die Menge der idempotenten Elemente von (S,+), mit E* die Menge der idempotenten Elemente von (S,*) bezeichnet.

In jedem Halbring (S,+,*)ist E+ leer oder ein Ideal von (S,*). Für jedes e = e + e aus E+ und jedes s aus s gilt s*e = s*(e + e) = s*e + s*e, also ist S*E+ in E+ enthalten. Mit Hilfe des rechtsseitigen Distributivgesetzes folgt auch die Inklusion von E+*S in E+.

Besitzt (S,+,*) ein Linkseinselement el gemäß el * a = a für alle a aus S, so ist E+ sogar ein Halbringideal. Für e,f aus E+ gilt dann nämlich e + f + e + f =el*(e + f) + el*(e + f) = (el + el)*(e + f) = (el + el)*e + (el + el)*f = e + e + f + f = e + f, d. h. E+ ist auch Unterhalbgruppe von (S,+).

Dasselbe gilt natürlich für ein Rechtseinselement.

E+ ist natürlich auch dann ein Halbringideal, wenn (S,+) kommutativ ist.


Erstellt: 2011-10

heise.de - DVdA
Diophantos: Vater der Algebra

(E?)(L?) https://www.heise.de/tp/features/Die-Variable-x-3646360.html?seite=2

19. März 2017 Raúl Rojas

Die Alternative zur Geometrisierung ist die sogenannte Algebraisierung: Man schreibt numerische Aufgaben direkt als symbolische Gleichungen - diese werden Schritt für Schritt reduziert, bis der Wert der unbekannten Größe vorliegt, so wie wir es heute in der Schule tun.

Algebra ist jedoch etwas, das etliche Jahrhunderte für seine Reifung benötigte. Im Grunde wurde die Algebraisierung der Mathematik erst im 19. Jahrhundert abgeschlossen. So lange dauerte es, bis der notwendige Symbolismus und vor allem die richtigen Begriffe vorlagen.

Ein Mathematiker im 12. Jahrhundert konnte sich beispielsweise auf kein allgemein anerkanntes Symbol für die Addition, die Multiplikation und nicht einmal für das Gleichheitszeichen stützen. Numerische Probleme wurden diskursiv aufgestellt und diskursiv gelöst. Liest man solche Bücher heute, ist man zunächst einmal verblüfft, kaum Symbole zu finden, nur Sätze und Sätze, in denen über die Unbekannte, bzw. dem Quadrat der Unbekannten usw. die Rede ist. Das ist, was man heute "rhetorische Algebra" nennt.

Abb. 1: Diophantos "Arithmetica" in der 1296 geschriebenen Handschrift. Rom, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vaticanus graecus 191, ff. 388v. Bild: Public Domain

Es war allerdings auch in Alexandria, wo der erste Schritt zur symbolischen Algebra unternommen wurde. Diophantos war ein Gelehrter, der von vielen als "Vater der Algebra" bezeichnet worden ist. Das Wort "Algebra", mit seinen arabischen Wurzeln, gab es natürlich noch nicht. Von Euklid wissen wir wenig, von Diophantos jedoch weniger. In manchen Ecken ist vermutet worden, Euklid war eher eine Einheit von verbündeten Mathematikern, die gemeinsam unter einem Pseudonym publiziert haben, d.h. so etwas wie die Bourbaki-Gruppe im Frankreich des 20. Jahrhunderts. Zu umfangreich, gewaltig und endgültig wirkt das euklidische Werk um die Kreation eines Einzelnen zu sein.

Über Diophantos von Alexandria gibt es ebenfalls kaum bezeugte Überlieferungen. Es wird vermutet, er hat im 3. Jahrhundert unserer Zeit gelebt. Die ersten existierenden Berichte über ihn wurden allerdings Jahrhunderte nach seinem Tod verfasst. Unumstritten ist jedoch, dass er die nach den Elementen berühmteste mathematische Abhandlung verfasst hat, die "Arithmetik". Heute können wir die sechs erhaltenen Bücher (von ursprünglich 13) lesen, in Übersetzung und mit moderner Notation.

Die "Arithmetik" von Diophantos war bahnbrechend allein durch die Schwierigkeit der gestellten numerischen Aufgaben. Im Werk werden nicht nur quadratische bzw. kubische Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten gelöst, sondern völlig allgemeine Fragen aufgeworfen, wie z.B. die Möglichkeit, eine Summe von Quadraten auf eine andere Summe von Quadraten zu reduzieren.

Das Zweite, das ins Auge springt, ist die Tatsache, dass Diophantos bereits eine symbolische Notation für mathematische Ausdrücke verwendet. Das ist nicht mehr rein rhetorische Algebra, es ist eine hybride Zwischenform, die auf Englisch "syncopated algebra", also etwa "annotierte Algebra", genannt wird. Während aber das geometrische Wissen der Antike in den Folgejahren nicht vergessen wurde, geriet die Arbeit von Diophantos in die Versenkung, bis zuerst die Araber im 10. Jahrhundert und dann die Europäer im 15. Jahrhundert die "Arithmetik" würdigten.

In der Notation von Diophantos wurden die griechischen Buchstaben als Zahlen verwendet (Alpha war 1, Beta 2, usw.) und die Symbole "???" und "???" waren Vertreter für Quadrat bzw. Kubus der Unbekannten. Den Ausdruck "???" könnte man heute beispielsweise als "2x^3+3x^2+1 interpretieren. Die Koeffizienten für die Variablen werden nach dem Quadrat bzw. den Kubus-Symbolen geschrieben. Der Buchstabe "M" kündigt eine Konstante an.

Da Diophantos kein Symbol für Gleichheit hatte und da nicht alles über symbolische Regeln entwickelt wurde, ist die "Arithmetik" ein Hybrid, ein Buch, das zum großen Teil reiner Text ist und in dem nur ab und zu symbolische Ausdrücke verwendet werden. Deswegen nennt man dies eben "annotierte Algebra". Wichtig in diesem Zusammenhang ist jedoch, dass Diophantos einen ausgezeichneten Buchstaben für die Unbekannte ("alogos aritmos") selbst verwendet hat, den Buchstaben "Sigma", in der Variante, der am Ende von Wörtern verwendet wurde (sogenanntes "Terminal-Sigma"). Also noch nicht unser "x" aber so etwas wie ein "s".

Jahrhunderte sind nach Diophantos vergangen und es gab immer wieder die Notwendigkeit über die Unbekannte zu reden. Italienische Mathematiker haben einfach über "das Ding", d.h. "la cosa", gesprochen und Algebra wurde deswegen "arte cossista" genannt, die "Kunst der Dinge". Mathematiker, die Gleichungen lösen konnten, waren bis tief ins 16. Jahrhundert hinein "cossistas".

Es wurde langsam dringend, für die Unbekannte in Gleichungen eine Standardnotation zu verwenden. Es gab viele Zwischenstationen: Fibonacci z.B. hatte bereits Buchstaben verwendet um Zahlen zu repräsentieren, Michael Stifel hatte "q" als Abkürzung für "Quantita" verwendet, und bei einer Übersetzung von 1575 der "Arithmetik" von Diophantos wurde "N" statt "Sigma" verwendet. Viel methodischer war allerdings der zweite "Vater der Algebra", der im 16. Jahrhundert in Erscheinung trat.

Der französische Mathematiker François Viète hat mit seinem Werk von 1591 "Isagoge in artem analyticam" die Schraube der mathematischen Notation nochmal weiter gedreht. Er hat einerseits mathematische Symbole adoptiert, die bereits in Umlauf waren, und außerdem echte Gleichungen aufgestellt (Diophantos hatte, erinnern wir uns, kein Gleichheitssymbol). Und jetzt kommt‘s: Für die Werte von Konstanten hat Viète die lateinischen Konsonanten verwendet, während Variablen mit Vokalen repräsentiert wurden. Da Viète aber kein Potenzsymbol besaß, schrieb er "A cubum" oder "A quadratum", wenn er "A^3" bzw. "A^2" meinte.

Mit dieser Innovation, meinte Viète, könne er statt nur mit Zahlen ("logistica numerosa") nun mit Symbolen operieren ("logistica speciosa"), was ja die Grundlage der Algebra ist. Liest man allerdings die "Isagoge" wird man das Werk nicht wirklich als sehr modern empfinden. Die Argumentation ist meistens rhetorisch und die Symbole erscheinen nur da, wo sie ab und zu benötigt werden, ohne lange symbolische Ketten von algebraischen Transformationen aufzustellen. Aber der Anfang war gemacht.


Erstellt: 2017-03

I

imaginary2008
Namen für Punktwolken

(E?)(L1) http://www.imaginary2008.de/

Eine interaktive Ausstellung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach für das Jahr der Mathematik 2008. Präsentiert werden Visualisierungen, interaktive Installationen, virtuelle Welten, 3D-Objekte und ihre theoretischen Hintergründe aus der algebraischen Geometrie und Singularitätentheorie. Die abstrakte Mathematik wird zu Bildern, "imaginär" wird zu "image". Virtuelle Welten machen Mathematik zu beeinflussbarer Kunst und zu verstehbarer Wissenschaft. Ein einzigartiges Erlebnis für alle!


(E?)(L?) http://www.imaginary2008.de/about.php

...
In verschiedenen Galerien präsentieren wir Ihnen unglaublich schöne Bilder, die oft ganz einfachen Formeln gehorchen. Erklärungstafeln zu den Bildern geben Hinweise auf Ursprung und Bedeutung der Bilder und deuten einige mathematische Zusammenhänge an.
...
Die Idee von "IMAGINARY" ist - wie der Name schon vermuten lässt - die visuelle und ästhetische Komponente der Mathematik als Blickfang zu verwenden, um den BesucherInnen mathematische Hintergründe auf interaktive Weise zu erklären. Das "Imaginäre", Unvorstellbare der Mathematik wird verbildlicht, es wird zu Bildern ("images"), die auch selbst erzeugt werden können.
...


(E?)(L1) http://www.heise.de/newsticker/meldung/103775

Escher für alle: Von Formeln zu Formen

"Imaginary" ist laut Englischlexikon ein Adjektiv und heißt so viel wie "unwirklich" oder "nur im Geiste vorhanden".
...
Im Zentrum der Schau stehen bzw. hängen 25 großformatige Tafeln (wir zählen hier das Eingangsposter mit), auf denen jeweils die Lösungsmengen von Polynom-Gleichungen mit den Variablen x, y und z zu sehen sind. Oder um es unmathematisch zu sagen: hauchzarte farbige Gebilde, die den Raum durchziehen und deren Spitzen, Kanten und Flächen exakten Rechenregeln folgen. Einige von ihnen liegen in einer Vitrine als in Kunststoff fixierte 3D-Körper aus.

Es war die geniale Idee des österreichischen Mathematikers Herwig Hauser, den von ihm ausgedachten Punktwolken Namen zu verleihen. So wird aus den Lösungen von x2+y3+z5=0 ein "Sofa", aus denen von y2+z3=z4+x2z2 ein Herz, und aus dem knappen x2=y2z2 entwickeln sich gar "Himmel und Hölle".

Wem "Dullo", "Daisy", "Diabolo" oder "Dingdong" nicht genügen, kann an einem großen Touchscreen mit eigenen Schöpfungen in die Annalen der algebraischen Geometrie eingehen.
...


J

K

Körper (W3)



(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/halbring.html#Körper

Ein Körper (K,+,*) ist ein Ring mit Einselement, in dem die von Null verschiedenen Elemente K\{0} bezüglich der Multiplikation eine Gruppe (K\{0},*) bilden. Handelt es sich hierbei sogar um eine kommutative Gruppe, so spricht man von einem kommutativen Körper. Man nennt dann die entsprechenden Strukturen mit nicht notwendig kommutativer Multiplikation auch Schiefkörper.


Erstellt: 2011-10

L

M

mathekalender
Tropische Algebra

(E?)(L?) http://www.mathekalender.de/info/Loesungsheft2007.pdf

4 Tropische Algebra 14


Erstellt: 2011-10

mathematik
Algebra

(E?)(L1) http://www.mathematik.de/


(E?)(L1) http://www.mathematik.de/ger/index.php?artid=355&option=kategorie&katId=99#kat99

Algebra (6 Artikel)


(E?)(L?) http://www.mathematik.de/ger/index.php?artid=506&option=kategorie&katId=82#kat82

"Ein Inhalt wird dazu in algebraische Formeln eingeschlossen, damit man, indem man die Formel anwendet, nicht hundertmal ein und dasselbe wiederholen muß."
- A. I. Herzen, 0

"Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about."
- Philippe Shnoebelen, 0

"Die Algebra ist großzügig - oft gibt sie mehr, als wonach man gefragt hat."
- Jean Le Rond d'Alembert, 0


Erstellt: 2011-10

matheraetsel
Algebra - Aufgabensammlung

(E?)(L?) http://www.matheraetsel.de/algebra.html

Aufgabensammlung zur Algebra Titel


Erstellt: 2011-10

N

O

P

Pascalsches Dreieck
Pascal-Dreieck (W3)

Das "Pascalsches Dreieck" wurde von Pierre Raymond de Montmort (1708) und Abraham de Moivre (1730) nach Blaise Pascal benannt. Das "Pascalsche Dreieck" selbst war jedoch schon vor Pascal bekannt. In China heißt es z.B. "Yang-Hui-Dreieck" (nach "Yang Hui"), in Italien "Tartaglia-Dreieck" (nach "Nicolo Tartaglia") und im Iran "Chayyam-Dreieck" (nach "Omar Khayyam").

(E?)(L?) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/index/indexframe.htm


(E?)(L1) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pascalmod.htm

Muster im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck (Blaise Pascal) ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen, die links und rechts oberhalb von ihr stehen. Oben geht es mit einer 1 los; und so entsteht die Zahlenfolge, die man links sieht. Nach unten könnte es prinzipiell unendlich weitergehen. Hier kann man schauen, welche Zahl an einer bestimmten Stelle steht:
...


(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod02-mod09.xls
2,5MB

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod10-mod19.xls
1MB

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod20-mod29.xls
1MB

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod30-mod39.xls
1MB

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod40-mod49.xls
1MB

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/_xls/Pascalsches_Dreieck_mod50-mod59.xls
1MB

(E?)(L?) http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/p.html

...
Was das Pascalsche Dreieck so erstaunlich macht:
Die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)^n auftreten, wobei mit n = 0 zu zählen begonnen wird:
...


(E?)(L?) http://www.mathe-online.at/mathint/var/i.html#Pascal

...
Das Pascalsche Dreieck

Das kann beliebig weiter getrieben werden, allerdings mit ständig wachsendem Rechenaufwand. Nun stellt sich heraus, daß all diese Identitäten, auch höhere, auf andere Weise viel einfacher gefunden werden können. Die Terme, um die es hier geht, sind Polynome in zwei Variablen, a und b, und die Zahlen, die auf den rechten Seiten auftreten, sind deren Koeffizienten. Die Koeffizienten zu verschiedenen Potenzen hängen nun auf verblüffende Weise zusammen. Sie können in ein Zahlenschema geschrieben werden, das den Namen Pascalsches Dreieck trägt.

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Besprechung dieses Verfahrens aufrufen.

Faktorielle und die Binomialkoeffizienten
...


(E?)(L?) http://www.matheplanet.com/


(E?)(L?) http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=285


(E?)(L?) http://www.walter-fendt.de/m14d/


(E?)(L?) http://www.walter-fendt.de/m14d/pascaldreieck.htm

Elementare Algebra
Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck 23.11.2002 - 25.3.2007

Dieses Java-Applet berechnet Binomialkoeffizienten ("n über k" oder "k aus n") für n = 0, 1, 2, . . ., 10000 und k = 0, 1, 2, . . ., n. Man beachte, dass jede Eingabe mit der "Enter"-Taste abgeschlossen werden muss!

Im Pascalschen Dreieck werden die Binomialkoeffizienten so angeordnet, dass Werte mit gleichem n in derselben Zeile stehen. Hier sind die ersten 21 Zeilen (n = 0 bis n = 20) dargestellt.
...


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra

17.3 Binomischer Lehrsatz und Pascalsches Dreieck
...
Schreibt man die Koeffizienten von (a + b)n zeilenweise, d. h. die von (a + b)n in Zeile n, erhält man das Pascalsche Dreieck. n über k ist daher die k-te Zahl in der n-ten Reihe dieses Zahlendreiecks.
...
Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:
Summe (i=1 bis n-1) von (i über k) = (n über k+1)


(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Pascalsches Dreieck
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Pascalsches Dreieck" taucht in der Literatur um das Jahr 1910 auf.

(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten . Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist.
...
Geschichte

Die früheste detaillierte Darstellung eines Dreiecks von Binomialkoeffizienten erschien im 10. Jahrhundert in Kommentaren zur Chandas Shastra, einem indischen Buch zur Prosodie des Sanskrit, das von Pingala zwischen dem fünften und zweiten Jahrhundert vor Christus geschrieben wurde.
...
Peter Apian veröffentlichte das Dreieck 1531/32 auf dem Titelbild seines Buchs über Handelsberechnungen, dessen frühere Version von 1527 den ersten schriftlichen Nachweis des pascalschen Dreiecks in Europa darstellt.

1655 schrieb Blaise Pascal das Buch „Traité du triangle arithmétique“ (Abhandlung über das arithmetische Dreieck), in dem er verschiedene Ergebnisse bezüglich des Dreiecks sammelte und diese dazu verwendete, Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. Das Dreieck wurde später von Pierre Raymond de Montmort (1708) und Abraham de Moivre (1730) nach Pascal benannt.
...


Erstellt: 2012-01

Q

R

raikas.net
Quadratische Gleichungen bei al-Khwarizmi

(E?)(L?) http://raikas.net/alkh.html

Vorspann:

Wir lösen heute quadratische Gleichungen im Prinzip genauso wie der arabische Mathematiker al-Khwarizmi es bereits vor mehr als 1000 Jahren getan hat. Sein Lösungsverfahren, welches er geometrisch begründete, unterscheidet sich von unserem eigentlich nur durch eine ungewohnte sprachliche Darstellungsweise. Al-Khwarizmis originale Erläuterungen sind durchaus zugänglich, so daß es möglich ist, seine Denkweisen an authentischen Texten nachzuvollziehen.

Interessant sind insbesondere die geometrischen Begründungen, die al-Khwarizmi angibt - sie führen zu einem tieferen Verständnis des algebraischen Lösungsverfahrens für quadratische Gleichungen.

Der folgende Text beschreibt al-Khwarizmis Lösungsverfahren - es ist eine abgewandelte Version meines Artikels in mathematik lehren 91, S. 14-18 (Friedrich Verlag, Velber, 1998).

Alle Zitate entstammen dem Buch The Algebra of Mohammed Ben Musa von Frederic Rosen (Olms, Hildesheim, 1986). Gleiches gilt für die Abbildungen 1 und 3. Quelle der Abbildung 2 ist die sowjetische Post (??? ???, 1983).
...
Mit dem "Buch der Addition und Subtraktion für die indische Rechenmethode" veröffentlichte er das erste Buch, in dem das Rechnen mit den indischen Zahlzeichen erläutert wurde. Dieses Werk heißt im Original" Al-kitab al-gam' wa'l-tafriq bi hisab al-hind" und kam über Spanien, welches damals zum arabischen Reich gehörte, nach Europa. Dort wurde es unter dem Titel "Algorismi de numero indorum" übersetzt. Der Name "al-Khwarizmi" wurde in "Algorismi" verändert, und aus "Algorismi" entstand der heutige Begriff "Algorithmus".

Zu jener Zeit schrieb al-Khwarizmi auf Wunsch von al-Ma'mum auch sein Werk "Ein kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen" (im Original: "Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa'l-muqabala". Aus dem arabischen Wort für "Ergänzen" "al-gabr" entstand der heutige Begriff "Algebra").
...


Erstellt: 2015-10

Ring (W3)

(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/halbring.html#Ring

Ein Ring ist ein Halbring (R,+,*), für den über (1) hinaus sogar gilt

(1') (R,+) ist kommutative(!) Gruppe.

Das neutrale Element der Gruppe (R,+) wird üblicherweise mit 0 bezeichnet und wie bei beliebigen Halbringen Null genannt.

Ist für einen Ring auch die Multiplikation kommutativ, so nennt man ihn einen kommutativen Ring.

Ein Ring mit Einselement (R,+,*) ist ein Ring, für den (R,*) Monoid mit dem neutralen Element 1 ist und in dem 0 /= 1 gilt. Hierdurch wird der einelementige (Halb-)Ring also explizit ausgeschlossen.


Erstellt: 2011-10

S

Sequenz (W3)

Die dt. "Sequenz" = dt. "Folge", "Reihenfolge" geht zurück auf lat. "sequentia" = dt. "Folge", "Reihenfolge" zu lat. "sequi" = dt. "folgen".

Man findet "Sequenzen" in der Chemie, beim Film, beim Kartenspiel, in der Mathematik, in der Musik, in der Programmierung.



(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/index.php?pos=H

...
Diese werden manchmal "Hollywood-Sequenzen" genannt, oft auch nur "Vorkapich" - an den Cutter "Slavko Vorkapich" (1892-1976) erinnernd, der für seine Montagen berühmt war.


(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/lexikon.php?begriff=Montagesequenz


(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/lexikon.php?begriff=Plansequenz


(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/lexikon.php?begriff=Sequenz


(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/lexikon.php?begriff=Sequenz+und+Szene


(E?)(L?) http://www.bender-verlag.de/lexikon/lexikon.php?begriff=Sequenzblende


(E?)(L?) http://www.chemie.de/lexikon/Aminos%C3%A4uresequenz.html


(E?)(L?) http://www.chemie.de/lexikon/RGD-Sequenz.html


(E?)(L?) http://www.chemie.de/lexikon/Signalsequenz.html


(E?)(L?) http://www.christianlehmann.eu/


(E?)(L?) http://193.175.207.139:8080/lido/Lido
Anruf-Antwort-Sequenz | Einfügungssequenz | Postsequenz | Präsequenz | Sequenz

(E?)(L1) http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/mathematik-gentzens-sequenzen-1885421.html

25.11.2009
Mathematik
Gentzens Sequenzen
Gerhard Gentzen gilt als größter Beweistheoretiker nach Kurt Gödel. Sein Leben vereint dramatisch die Widersprüche seiner Zeit. Am Dienstag wäre er 100 Jahre alt geworden.
Von Marc Dressler
...
Schließen in Sequenzen
Gentzens Ansatz, mit dem er die Unvollständigkeit überlistete, ist so originell wie aktuell. Dem Programm Hilberts folgend, formalisierte er das natürliche Schließen in sogenannten Sequenzen. Eine Sequenz besteht aus Folgen von Aussagen, wobei die nachfolgenden Aussagen sich aus den ihnen vorausgehenden ableiten. Will man herausfinden, ob eine Sequenz wahr ist, verkürzt oder verlängert man sie gemäß den Regeln des Kalküls, bis eine Folge von nacheinander beweisbaren Aussagen dasteht. So gelangt man letztlich zu Formeln, von deren Richtigkeit man sich durch elementares Ausrechnen überzeugen kann.
...
Sequenzen im Computer
Überlebt hat sein Kalkül. Von Gentzens Sequenzen machen die Informatiker heute regen Gebrauch. An der Tafel mag ein Beweis, niedergeschrieben in einer einzigen Sequenz, unanschaulich sein, im Rechner aber verschwinden die Zahlenkolonnen. Dass die Sequenz sehr lang sein kann, ist einem modernen Computer egal. Vielmehr hat eine Sequenz den Vorteil, dass zu einem vollständigen Beweis nicht erst alle Voraussetzungen zusammengeklaubt werden müssen: In einer Sequenz steckt alles drin. Sogenannte Verifizierungsprogramme beweisen mit Hilfe von Sequenzen, dass eine Software keine Fehler macht, indem sie die von der Software erzeugten Sequenzen nach vorgegebenen Regeln verlängern oder verkürzen, bis eine einfache Ja/Nein-Entscheidung möglich ist.

Gentzens eigentliches Ziel, die Widerspruchsfreiheit der Analysis zu beweisen, hat bis heute niemand erreicht, trotz weiterer Anläufe in den 1950er Jahren. Die meisten Mathematiker glauben aber, dass es um die Analysis bestens steht, solange niemand einen Widerspruch nachweist. Es gibt eben noch schlimmere Bedrohungen für die Mathematik als mengentheoretische Paradoxien. Gentzens Leben ist ein Beispiel dafür.


(E?)(L?) http://hispanoteca.eu/Lexikon%20der%20Linguistik/pa/PAARSEQUENZ.htm
PAARSEQUENZ

(E6)(L1) http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Schicht?redirectfrom=Sequenz


(E?)(L2) http://www.mittelalter-lexikon.de/


(E?)(L?) http://u01151612502.user.hosting-agency.de/malexwiki/index.php/Sequenz


(E?)(L?) http://www.openthesaurus.de/synonyme/Sequenz

Abfolge ·Aufeinanderfolge ·Folge ·Rangfolge ·Reihe ·Reihenfolge ·Sequenz ·Serie


(E?)(L?) http://www.phil.muni.cz/german/mediaev/histsem/nofr-beisp-HS.htm


(E?)(L1) http://www.musiklehre.at/fachwortlexikon/s.htm


(E?)(L?) http://www.owid.de/pls/db/p4_suche_elex.Stichw_alpha?v_Buchst=S
Schlusssequenz | Sequenz | Sequenzanalyse | Sequenzer | sequenziell | sequenzieren | Sequenzierung | Signalsequenz

(E5)(L1) http://www.teachsam.de/deutsch/glossar_deu.htm
Gesprächssequenz

(E?)(L2) http://www.tonalemusik.de/musiklexikon.htm


(E2)(L1) http://www.kruenitz1.uni-trier.de/cgi-bin/callKruenitz.tcl


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Sequenz

Exakte Sequenz
Der Begriff der exakten Sequenz spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.
...


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Sequenz


(E6)(L1) http://de.wikipedia.org/wiki/Prim%C3%A4re_Standardsequenz
Primäre Standardsequenz

(E1)(L1) http://www.wortwarte.de/
Genomsequenz | Rendervideosequenz | Sequenzgerät | Sequenzierer | Sequenziermaschine | Sequenziermaschine | Sequenzierroboter | Sequenzierroboter | Split-Screen-Sequenz | Streaming-Sequenz | Voice-Over-Sequenz

(E1)(L1) http://ngrams.googlelabs.com/graph?corpus=8&content=Sequenz
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Sequenz" taucht in der Literatur um das Jahr 1780 / 1850 auf.

Erstellt: 2011-03

Singularität (W3)

Das Wort "Singularität" = dt. "vereinzelte Erscheinung", "Besonderheit", math. "bei algebraischen Funktionen Punkt mit besonderen Eigenschaften", "Stelle einer Kurve oder Fläche mit besonderen Eigenschaften", geht zurück auf lat. "singularitas" = dt. "Einzelnsein", "Alleinsein".

(E?)(L?) http://www.algebraicsurface.net/

I produced the picture on the left using my tool surfex. It shows the surface of degree 7 with 99 singularities which I constructed in 2004.


(E?)(L1) http://www.astronomia.de/lexikon.htm

...
Der kollabierte Stern fällt aber unweigerlich weiter zusammen und endet mit einer Singularität.
...


(E?)(L?) http://derstandard.at/1237228650004/Wann-kommt-die-Singularitaet?_lexikaGroup=1

Wann kommt die Singularität?
29. März 2009
Oder ist die technologische Entwicklung, die wir nicht mehr kontrollieren können, längst am Laufen?
...


(E?)(L1) http://www.imaginary2008.de/

Eine interaktive Ausstellung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach für das Jahr der Mathematik 2008. Präsentiert werden Visualisierungen, interaktive Installationen, virtuelle Welten, 3D-Objekte und ihre theoretischen Hintergründe aus der algebraischen Geometrie und Singularitätentheorie. Die abstrakte Mathematik wird zu Bildern, "imaginär" wird zu "image". Virtuelle Welten machen Mathematik zu beeinflussbarer Kunst und zu verstehbarer Wissenschaft. Ein einzigartiges Erlebnis für alle!


(E?)(L?) http://medien.imaginary2008.de/IMAGINARY-Herwig-Hauser.pdf

Die Auflösung von Singularitäten
Ein jeder kann sich unter dem Begriff Fläche etwas vorstellen: Die Kugeloberfläche, der Spiegel des Meeres oder eines Sees, eine Schneefläche, die Seitenfl¨ache eines Würfels, der Mantel eines Kegels. Gemeinsam ist allen ihre zweidimensionale Ausbreitung in einem umgebenden dreidimensionalen Raum. Eine kleine Ameise, die auf der Fläche krabbelt, kann sich auf ihr nach vorne, hinten und seitlich bewegen. Sie kann aber nicht von der Fläche in die Höhe springen (im Gegensatz etwa zur Spezies Floh)...
Autor: Herwig Hauser, Universität Wien
Kurzbeschreibung: eine spannend lustige Einführung in die Singularitätentheorie
Artikel herunterladen (PDF 140KB)


(E?)(L?) http://medien.imaginary2008.de/IMAGINARY-Oliver-Labs.pdf

Weltrekord-Flächen - Algebraische Flächen mit vielen Singularitäten
Algebraische Flächen können glatt sein oder auch einige Spitzen (sogenannte isolierte Singularitäten) haben. Beschränkt man sich auf Flächen mit gewissen Eigenschaften, z.B. auf Flächen mit einem festen sogenannten Grad, so konnte man bereits im 19. Jahrhundert beweisen, dass jede solche Fläche nur endlich viele isolierte Singularitäten haben kann. Unmittelbar stellt sich die Frage: Wie viele?
Autor: Oliver Labs, Universität des Saarlandes
Kurzbeschreibung: eine ansprechende, mathematische Einführung zu Flächen mit Singularitäten auf Abitur-Niveau
Artikel herunterladen (PDF 1.3 MB)


(E?)(L?) http://www.marketing.ch/lexikon_s.asp

Singularität


(E?)(L?) http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/s.html

Singularität einer reellen (oder komplexen) Funktion f wird eine Stelle genannt, an der f nicht wohldefiniert ist, etwa weil es sich um eine Definitionslücke oder um eine Unendlichkeitsstelle handelt. Es gibt aber auch andere Formen von Singularitäten, wie beispielsweise die Stelle x = 0 der Funktion sin(1/x).


(E?)(L?) http://www.oliverlabs.net/view.php?menuitem=160

Nodal Surfaces
A large part of my work is connected to (hyper-)surfaces with many singularities. The main question in this subject is: What is the maximum number µ(d) of isolated singularities on a surface of degree d in projective three-space?


(E?)(L?) http://www.oliverlabs.net/view.php?menuitem=162

The Gallery


(E?)(L?) http://www.owid.de/pls/db/p4_suche_elex.Stichw_alpha?v_Buchst=S


(E?)(L?) http://www.schuelerlexikon.de/

Physik-Lexikon: Singularitäten


(E?)(L?) http://www.unendliches.net/german/singularitaet.htm

Singularität, eine Stelle, an der ein kontinuierlicher Zustand einen plötzlichen 'Sprung' aufweist oder einen unendlichen bzw. nicht mehr beschreibbaren Wert annimmt.
...


(E?)(L?) http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage908/

Singularitäten einer komplexen Funktion


(E?)(L?) http://www.wetter.net/lexikon/singularitaeten.html

Wetterlexikon - Singularitäten
Darunter versteht man bestimmte Wettergeschehen mit kalendermäßiger Bindung (lat. von singularis = einzeln, einzigartig), also typische Wetterlagen, die im Jahresrhythmus zur fast gleichen Zeit auftreten.
...


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Hundstage

...
Die Hundstage gehen bis auf das alte Ägypten im 3. Jahrtausend v. Chr. zurück und bezeichneten dort die "Rückkehr" des Fixsterns "Sirius", Hauptstern im Sternbild "Großer Hund", an den Morgenhimmel. Sie sind daher ursprünglich keine meteorologische Singularität, sondern ein astronomisches Ereignis. Nachdem Sirius zuvor wochenlang unsichtbar mit der Sonne am Tageshimmel stand, konnte er an den Ufern des Nils gegen Ende der ersten Julidekade erstmals in der sich erhebenden Morgendämmerung wieder erspäht werden. Das gleiche Ereignis wurde später von den Griechen als "heliakischer Aufgang" bezeichnet, was so viel wie "mit der Sonne" bedeutet.

Die Wiederkehr des Sirius galt entlang des Nils als sicheres Vorzeichen der nahenden alljährlichen Sommer-Nilschwemme, die Schlamm und damit Fruchtbarkeit und Segen über die Felder entlang des Flusses brachte. Diese Tausende von Kilometern weiter stromauf durch die zentralafrikanische Regenzeit verursachte erste Hochwasserwelle des Jahres rollte stets in der zweiten Julihälfte, zur Zeit der größten Sommerhitze, den Fluss hinab und ergoss sich schließlich ins Mittelmeer. Durch das Zusammenspiel von Sonnenhöchststand und Regenzeit im Quellgebiet des Stroms mit dem scheinbaren Lauf des Sirius am Sternenhimmel hat die Benennung "Hundstage" im entfernteren Sinn also durchaus etwas mit dem Wetter zu tun, genauer gesagt mit den Folgen des Wetters.

Die Römer sahen die Wiederkehr des Sirius übrigens erst deutlich später, nämlich in der letzten Julidekade; von den Römern stammt auch die noch heute gültige Festlegung des Beginns der Hundstage am 23. Juli.
...


(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Singularität
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Singularität" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2012-10

skriptweb.de
Mathematik-Skripte - Analysis - Algebra

(E?)(L?) http://www.skriptweb.de/mathematik/

Analysis 1 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker 1" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Wintersemester 1999/2000 und Sommersemester 2000 (ohne den Abschnitt "Lineare Algebra" am Ende des 1. Semesters), nach dem Buch "Analysis 1" von Prof. Königsberger, Springer Verlag (ISBN 3-540-66153-0)

Analysis 2 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker 2" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Sommersemester 2000, nach dem Buch "Analysis 2" von Prof. Königsberger, Springer Verlag (ISBN 3-540-62871-1)

Analysis 3 - Mitschrift der Vorlesung "Höhere Mathematik 3 für Physiker" von Prof. Klaus Buchner, an der TU München im Wintersemester 2000/2001.

Analysis 4 - Mitschrift der Vorlesung "Höhere Mathematik 4 für Physiker" von Prof. Klaus Buchner, an der TU München im Wintersemester 2000/2001.

Jordan-Normalform (Analysis 4) - Inhalt von drei Vorlesungen von Dr. Peter Giesl über die Jordan-Normalform im Rahmen der Vorlesung Höhere Mathematik 4 von Prof. Klaus Buchner.

Lineare Algebra 1 - Mitschrift des Abschnitts "Lineare Algebra" der Vorlesung "Mathematik für Physiker" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Wintersemester 1999/2000, nach dem Buch "Höhere Mathematik 1" von Meyberg/Vachenauer, Springer Verlag (ISBN 3-540-53190-4)

Lineare Algebra 2 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker - Lineare Algebra" von Prof. Harald Friedrich, an der TU München im Sommersemester 2000, nach dem Buch "Höhere Mathematik 1" von Meyberg/Vachenauer, Springer Verlag (ISBN 3-540-53190-4). Diese Mitschrift ist leider sehr lückenhaft.

Zusammenfassungen

Analysis 1 - Zusammenfassung einiger Kapitel aus dem Analysis 1-Skript.

Lineare Algebra - Zusammenfassung des Stoffs der Vorlesung "Mathematik für Physiker - Lineare Algebra", erstellt aus der Vorlesungsmitschrift und mit Hilfe des Buchs "Höhere Mathematik 1". Da die Übungen zu dieser Vorlesung in Englisch gehalten wurden, ist im Anhang eine Liste von Vokabeln, die während der Übungen auftauchten, beigefügt.


Erstellt: 2016-12

T

TU Freiberg
Klassische Algebra

(E?)(L?) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/

Willkommen zur Freiberger Web-Vorlesung über Klassische Algebra

Während in der Linearen Algebra hauptsächlich Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen untersucht werden, die letzteren oft in der Gestalt von Matrizen, beschäftigt man sich in der Klassischen Algebra vor allem mit solchen algebraischen Strukturen, die dem Vektorraumbegriff und dem Matrizenkalkül zugrunde liegen.

Dies sind vornehmlich die "klassischen" Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper. Sie haben sich in vielen Gebieten der Mathematik als nützlich erwiesen und verdienen deshalb eine eingehende Untersuchung. In der "moderneren Algebra" sind auch Strukturen nicht mehr wegzudenken, bei denen zu den üblichen Verknüpfungen wie Addition und Multiplikation noch partielle Ordnungen hinzukommen. Diese werden im Umfeld der Verbandstheorie eingehender untersucht.

Bei der Beschäftigung mit einzelnen dieser Strukturen stellte es sich heraus, daß man immer wieder auf Resultate stieß, die sich für die unterschiedlichen Strukturen in ganz analoger Weise formulieren ließen. Dies führte zur Entstehung der Universellen Algebra, in der im Prinzip Gemeinsamkeiten sämtlicher algebraischer Strukturen untersucht werden. Ihren größten Grad an Abstraktheit erreicht diese Vorgehensweise in der Kategorientheorie.

In der jüngsten Zeit erlangten Gebiete der Algorithmischen Algebra große Bedeutung, da sie in Form der Computeralgebra in vielen Anwendungen mathematischer Methoden Eingang fanden.

...


Erstellt: 2011-10

U

Uni Bielefeld
Linear Algebraic Groups and Related Structures

(E?)(L?) http://www.math.uni-bielefeld.de/

WWW Server: Fakultät für Mathematik, University of Bielefeld, Germany, Ulf Rehmann


(E?)(L?) http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/LAG/

Preprint Server

This preprint server is intended to be a forum of the recent development of the theory of "Linear Algebraic Groups over Arbitrary Fields" and its "Related Structures", like Azumaya Algebras, Algebras with Involutions, Brauer Groups, Quadratic and Hermitean Forms, Witt Rings, Lie and Jordan Algebras, Homogeneous Varieties.
Some related manuscripts are to be found on K-theory Preprint Archives and Homology, Homotopy and Applications

The Preprints:


Erstellt: 2011-07

V

W

wikipedia
Formelsammlung - Algebra

(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Algebra.

Inhaltsverzeichnis ...


Erstellt: 2011-10

Wurzeln ziehen (W3)

Die Bezeichnung "Wurzeln ziehen" beruht auf einem Übersetzungsfehler.

Die Griechen untersuchten das Problem des Wurzelziehens geometrisch: die Seite eines Quadrats erhält man als Wurzel der Fläche. Und die Griechen nanten die "Seite" bzw. "Kante" als griech. "pleura". Die islamischen Mathematiker übersetzten griech. "pleura" als arab. "jidr", weil dieses Wort "Basis" bzw. "unterster Teil" bedeutet. In der Botanik bezeichnete arab. "jidr" jedoch die "Wurzel" (von Pflanzen). Die europäischen Mathematiker lernten die griechische Mathematik auf dem Umweg über die arabischen Übersetzungen kennen. Und sie übersetzten ihrerseits arab. "jidr" als lat. "radix" = dt. "Wurzel" (darauf gehen auch dt. "Radieschen" und "Rettich" zurück).

Nachdem das Wort "Wurzel" für die Lösung von quadratischen Gleichungen akzeptiert war, war es nur folgerichtig damit auch Lösungen von beliebigen algebraischen Gleichungen zu bezeichnen. Aus der speziellen "Wurzel" wurde die "Quadratwurzel", und "Wurzel" wurde zur allgemeinen Bezeichnung.

Die wenigen Mathematiker die sich gegen die falsche Bezeichnung aussprachen - wie der französische Algebraiker François Viète und andere, die das Wort "latus" = dt. "Seite" verwendeten - wurden überstimmt.

(E?)(L?) http://www.gymnasium-karlsbad.de/interaktiv/online-lernen/onlinelernen-mathematik/469-reelle-zahlen-terme-mit-wurzeln.html

Wurzeln ziehen - Zuornungsübung


(E?)(L?) http://www.heise.de/tp/artikel/39/39775/1.html

Warum wir Wurzeln ziehen
Raul Rojas 31.08.2013

Lösungen von Polynomgleichungen als "Wurzeln" des Polynoms zu bezeichnen, hat mit einer der bizarrsten Fehlübersetzungen der mathematischen Geschichte zu tun.

Auf Deutsch ziehen wir "Quadratwurzeln". Auf Englisch redet man von "square root extraction". Auf Spanisch benutzt man eine wörtliche Übersetzung: "extraer la raiz cuadrada". Woher kommt diese Redewendung und was haben Gleichungen mit der Pflanzenwelt zu tun?

Das "Haus der Weisheit" in Bagdad kamen wähend der Blütezeit des Islam viele islamische Gelehrte zusammen. Bild: Zereshk/public domain

Der Ausdruck "Quadratwurzel ziehen" und Lösungen von Polynomgleichungen als "Wurzeln" des Polynoms zu bezeichnen, hat mit einer der bizarrsten Fehlübersetzungen der mathematischen Geschichte zu tun. Manche Worte und Symbole (man denke an unsere heutigen arabischen Ziffern) fanden ihren Eingang in die mathematische Sprache Europas über Entlehnungen aus arabischen mathematischen Werken. Es war die Geburtsstunde der Algebra und auch von gewissen Missverständnissen.

Bei der Entstehung der Algebra identifiziert man drei verschiedene Epochen: Bei Babyloniern und Ägyptern wurden mathematische Probleme einfach sprachlich formuliert und es gab normalerweise kein ausgezeichnetes Wort für die gesuchte Lösung (oder unbekannte Variablen, wie wir heute sagen würden). Auf diese "rhetorische Algebra" folgte ein "annotiertes" System, bei dem spezielle Marken oder Buchstaben die rhetorische Formulierung anreicherten. Schließlich entstand die durchdachte Lehre von Symbolen und abstrakten Transformationsregeln, die wir heute kennen.

Am Anfang dieser Entwicklung haben Mathematiker aus dem persischen, indischen und arabischen Kulturraum wesentliche Beiträge geleistet. Selbst der Ausdruck "Algebra" ist arabischen Ursprungs. Er wurde von Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi in einem mathematischen Kompendium des Jahres 820 verwendet.

Das Wort Algebra

Zwischen den Jahren 800 bis 1300 wurden die Araber zu Erben der Wissenschaft und Technologie der Ägypter, Babylonier, Griechen und Römer. Alle Arten von wissenschaftlichen Schriften wurden in Bagdad, dem Zentrum des arabischen Imperiums ab dem neunten Jahrhundert, gesammelt und übersetzt. Das Bait al-Hikma (Haus der Weisheit) in Bagdad wurde zum Think-Tank des Kalifats. Es war der Sammelplatz für die bedeutendsten Gelehrten jener Zeit.

Al-Khwarizmi wirkte auch im Haus der Weisheit. Bereits zu Lebzeiten war sein Ruhm legendär - er galt als Euklid und Diophant der arabischen Welt. Geboren in der Region zwischen Persien und Usbekistan, war Al-Khwarizmi ein Universallgelehrter. Er popularisierte zusammen mit anderen Mathematikern die indischen Ziffern und schrieb didaktische Erläuterungen über algebraische Verfahren. Selbst sein Name, Al-Khwarizmi, verwandelte sich mit der Zeit in unseren "Algorithmus".

Das bekannteste Buch von Al-Khwarizmi trug den Titel "Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala", was als "Kompendium von Rechnungen durch Ergänzung und Ausgleichen" übersetzt werden könnte. Das Buch war eine Art "Benutzerhandbuch" für die Lösung von mathematischen Problemen. Das Wort "Al-Jabr" im Titel übersetzen viele als "ergänzen". Die erste lateinische Fassung des Werkes (1145) wurde "Liber algebrae et almucabala" genannt, womit das Wort "Algebra" in das europäische Vokabular eintrat.

Jedoch haben vor mehr als 80 Jahren Solomon Gandz und Otto Neugebauer gezeigt, dass die oben erwähnte Deutung von "Algebra" nicht zutreffend ist. Babylonier und Ägypter hatten Jahrhunderte früher die grundlegenden Ausgleich-Techniken entwickelt, um Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können.

Gandz und Neugebauer konnten Al-Khwarizmis Quellen auf die Babylonier, Assyrer und Sumerer zurückverfolgen. "Gabru-maharu" bedeutet in Assyrisch Entgegensetzen oder Gleichsein. Die Araber übernahmen die mathematische Technik aber auch die Phonetik des Wortes und daraus wurde das entlehnte Wort "al-jabr", das mit dem arabischen Wort "al-muqabala" identifiziert wurde. Gandz folgerte daraus, dass der Titel "Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala" knapp als "Wissenschaft der Gleichungen" übersetzt werden könnte. Doppelt hält besser - und so bezeichnen im Titel "al-jabr" und "al-muqabala" eigentlich Gleichungen, einmal auf Assyrisch, ein andermal auf Arabisch.

Die Fehlübersetzung

Bevor jedoch die Araber die mathematische Stafette übernahmen, mussten sie sich mit den geistreichen griechischen Mathematikern auseinandersetzen. Die Griechen hatten eine Vorliebe für geometrische Beweise, da diese recht anschaulich für "das Auge" durchgeführt werden können.

Die mathematischen Probleme jener Zeit wurden so zu Konstruktionen mit Lineal und Zirkel reduziert. Will man z.B. die Quadratwurzel von 2 geometrisch finden, zeichnet man ein Quadrat mit Kantenlänge Eins. Die Diagonale des Quadrats hat dann die gewünschte Länge. Für Addition, Subtraktion und sogar Multiplikation und Teilung von Segmentlängen gibt es die entsprechenden geometrischen Methoden. Dass man viele dieser geometrischen Größen dann nicht mehr als einfache Brüche schreiben konnte, war ein computational Betriebsunfall, den die Pythagoreer aufdeckten. Das Aufspüren der irrationalen Zahlen war für sie so bedeutsam, dass sie den Göttern eine Hekatombe (hundert geschlachtete Rinder) dargebracht haben. "Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt", wusste Ludwig Börne zu erdichten.

Aber nun: Die arabischen Mathematiker (darunter auch al-Khwarizmi in Bagdad) benutzten zwei Worte für die unbekannte Größe in einem Problem: "mal" und "jidr". Das erste Wort wurde für das Quadrat der Unbekannten verwendet, das zweite für die unbekannte Größe selbst.

Die Araber wollten die algebraischen Gleichungen lösen, die die Griechen auf geometrische Art bewältigt hatten. Für die Griechen war die "Seite" bzw. "Kante" einer geometrischen Konstruktion die zu suchende Größe, die "pleura" in ihrer Sprache. Die islamischen Mathematiker übersetzten "pleura" als "jidr", weil dieses Wort "Basis" bzw. "unterster Teil" bedeutet, jedoch bei Pflanzen die "Wurzel" bezeichnet. Als dann die ersten europäischen Mathematiker das Wort "jidr" übersetzten, verwandelten sie es in das lateinische "radix" (wie "Radischen"), das Wort für "Wurzel", ein folgenreicher Fehler.

Unter anderem popularisierten die Übersetzer Johannes Hispaniensis in Sevilla, Gerhard von Cremona in Toledo, und Leonardo di Pisa (besser bekannt als Fibonacci) in Italien die Bezeichnung "Wurzel" und diese wurde zum geflügelten Wort. Kapitel 14 von Fibonaccis "Liber Abaci" (von 1202) trug z.B. diesen Titel: "De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ..." (Vom Auffinden von Quadrat- und Kubikwurzeln).

Ab dann wurde das Wort "Wurzel" sowohl für die Lösung von quadratischen Gleichungen, als auch für die Lösung von beliebigen algebraischen Gleichungen verwendet. Im ersten Fall wurde die Lösung eine "Quadratwurzel", im zweiten einfach die "Wurzel" der Gleichung.

Nicht alle Mathematiker begingen den Fehler. Der große Algebraiker François Viète in Frankreich und andere mehr übersetzten direkt aus den griechischen Originalen und verwendeten deswegen das Wort "latus" ("Seite") für die Unbekannte. Die alternative Terminologie hatte sich aber schon längst in Europa durchgesetzt. Seitdem treibt das "Wurzelfinden" dem Schüler den Schweiß auf die Stirn - eine spannende Geschichte, die würdig wäre, von Scheherazade in der Tausend und Zweiten Nacht erzählt worden zu sein.




Erstellt: 2013-11

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Gebundene Ausgabe: 655 Seiten
Verlag: Springer, Berlin; Auflage: korr. Nachdr. (August 2008)
Sprache: Deutsch


"Schon in prahistorischer Zeit entwickelten Menschen erste Vorstellungen von Zahl und Form, begannen mit dem Zahlen und unterschieden dabei nur ein, zwei und viele Dinge..." (mehr)

Kurzbeschreibung
Renommierte Mathematik-Historiker verbinden die Ursprünge und die Entwicklung der Algebra mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen. Der Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zu den genialen Ideen des jungen Galois und den berühmten Beweisen des Fundamentalsatzes der Algebra durch C.F. Gauß. Die Wandlung der Algebra von der Gleichungslehre zur Theorie algebraischer Strukturen wird ebenso beschrieben, wie die völlig neuen Akzente, die die moderne Computeralgebra gesetzt hat.


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Taschenbuch: 203 Seiten
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag; Auflage: 4, akt. Aufl. 2009 (15. September 2009)
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Galois-Theorie: Warum kompliziert, wenn's einfach geht?


Erstellt: 2012-01

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Kurzbeschreibung
Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingeführt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausführlich erklärt und an Beispielen erprobt. Der Leser erhält dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der Website zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.


Erstellt: 2011-05

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Plaue, Matthias (Autor)
Scherfner, Mike (Autor)
Mathematik für das Bachelorstudium I
Grundlagen, lineare Algebra und Analysis

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Taschenbuch: 306 Seiten
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Auflage: 1 (28. Mai 2009)
Sprache: Deutsch


Rezension

Handlich, verständlich, übersichtlich und prägnant - genau so muss ein Buch für das 1. Semester Bachelorstudium sein! Prof. Dr. Carsten Trunk, TU Ilmenau.

Ein Buch, das Ideen und Prinzipien erläutert. Geeignet für diejenigen, die Probleme mit dem strengen Prinzip "Definition - Satz - Beweis" haben. Prof. Dr. Matthias Bollhöfer, TU Braunschweig


Erstellt: 2012-05

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Sterling, Mary Jane (Autor)
Steffen, Eva (Übersetzer)
Algebra für Dummies

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Taschenbuch: 368 Seiten
Verlag: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA; Auflage: 2. überarbeitete Auflage (7. September 2011)
Sprache: Deutsch


Kurzbeschreibung
Da glaubt man, nach der Schule wäre man Mathematik und Algebra entkommen, und dann hatte der Lehrer, der immer behauptete, dass man in der Schule fürs Leben lerne, doch Recht. »Algebra für Dummies« hilft allen, bei denen die Mathematik unversehens wieder ins Leben zurückgekehrt ist, sei es nun am Arbeitsplatz, bei einer Weiterbildung oder an der Universität. Wem Brüche, Exponenten und Kurvendiskussionen die Haare zu Berge stehen lassen und Terme auch in Papierform den Schweiß auf die Stirn treiben, dem hilft dieses Buch auf einfache und humorvolle Art und Weise.


Erstellt: 2012-01

Sterling, Mary Jane (Autor)
Algebra II für Dummies

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Taschenbuch: 378 Seiten
Verlag: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA; Auflage: 1. Auflage (19. Januar 2011)
Sprache: Deutsch


Kurzbeschreibung
Da glaubt man, man hätte die Mathematik hinter sich, und dann hatte der Lehrer, der immer behauptete, dass man in der Schule fürs Leben lerne, doch Recht. "Algebra II für Dummies" hilft allen, bei denen die Mathematik unversehens wieder ins Leben zurückgekehrt ist, sei es nun am Arbeitsplatz, bei einer Weiterbildung oder an der Universität. Wem Brüche, Exponenten und Kurvendiskussionen die Haare zu Berge stehen lassen und Terme auch in Papierform den Schweiß auf die Stirn treiben, dem hilft dieses Buch auf einfache und humorvolle Art und Weise.

Über den Autor
Mary Jane Sterling ist Dozentin für Mathematik an der Bradley University und Autorin zahlreicher "...für Dummies"-Bücher


Erstellt: 2012-01

Sterling, Mary Jane (Autor)
Muhr, Judith (Übersetzer)
Grundlagen der Linearen Algebra für Dummies

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Taschenbuch: 342 Seiten
Verlag: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA; Auflage: 1. Auflage (7. Juli 2010)
Sprache: Deutsch


Kurzbeschreibung
Für so manchen Zeitgenossen ist das Land Mathematien wüst und grau und der Weg, die Lineare Algebra zu verstehen, ist besonders stolpersteinig und öd. Aber haben Sie erst einmal die Grundlagen verstanden, ist der Rest nur noch halb so schwer. Mary Jane Sterling hilft Ihnen in diesem Buch auf die Sprünge. Sie erklärt Ihnen, wie Sie mit Vektoren rechnen, die Matrizenalgebra meistern, Linearkombinationen in ihre Schranken weisen, sich behende im Vektorraum bewegen, Eigenwert und Eigenvektor zu guten Freunden machen und vieles mehr. Stellen Sie mit diesem Buch Ihre Kenntnisse der Linearen Algebra auf eine solide Grundlage.

Über den Autor
Mary Jane Sterling ist Dozentin für Mathematik und Autorin von "Algebra für Dummies" und "Lineare Algebra für Dummies".


Erstellt: 2012-01

Stroth, Gernot (Autor)
Elementare Algebra und Zahlentheorie
(Mathematik Kompakt)

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(E?)(L1) http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/3034605013/etymologpor09-20
Taschenbuch: 153 Seiten
Verlag: Springer Basel; Auflage: 1st Edition. (15. Dezember 2011)
Sprache: Deutsch


Buchrückseite
Dieses Buch behandelt die Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Zentrale Begriffe sind Primelemente und irreduzible Elemente. Ausgehend vom Aufbau einer Arithmetik in Hauptidealringen und insbesondere euklidischen Ringen sind die zentralen Themen zum einen irreduzible Polynome, zum anderen Primzahlen. Dies führt zu den algebraischen Körpererweiterungen und zu Fragen nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Nach einem längeren Ausflug in die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz und den auflösbaren Gruppen wird die Idee der Galoistheorie exemplarisch an der Frage der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen behandelt. Zentrale Begriffe der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Behandelt werden die Verteilung von Primzahlen, Primzahlformeln, Carmichaelzahlen, Kongruenzen, der Chinesische Restsatz und quadratische Reste bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.


(E?)(L?) http://www.science-shop.de/artikel/1137962

Eine kompakte Einführung fürs Studium und für anspruchsvolle Mathematikfreunde

Inhalt: Der Autor Gernot Stroth ist seit 1994 Professor für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle.


Erstellt: 2012-01

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Tropfke, Johannes (Autor)
Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung
Rechnen Und Algebra

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J.Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik in systematischer Darstellung, mit besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, 7Bände (24192380);

Taschenbuch: 350 Seiten
Verlag: Nabu Press (21. März 2010)
Sprache: Deutsch


Kurzbeschreibung
This is an EXACT reproduction of a book published before 1923. This IS NOT an OCR'd book with strange characters, introduced typographical errors, and jumbled words. This book may have occasional imperfections such as missing or blurred pages, poor pictures, errant marks, etc. that were either part of the original artifact, or were introduced by the scanning process. We believe this work is culturally important, and despite the imperfections, have elected to bring it back into print as part of our continuing commitment to the preservation of printed works worldwide. We appreciate your understanding of the imperfections in the preservation process, and hope you enjoy this valuable book.


Erstellt: 2011-05

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Waerden, B.L.v.d. (Autor)
Algebra I+II. Siebte und fünfte Auflage der Modernen Algebra

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Broschiert
Verlag: Springer, Berlin (1966)
Sprache: Deutsch

Erstellt: 2012-01

Wihler, Thomas (Autor)
Mathematik für Naturwissenschaften
Einführung in die Lineare Algebra

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(E?)(L1) http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/3825236366/etymologetymo-21


(E?)(L1) http://www.amazon.it/exec/obidos/ASIN/3825236366/etymologporta-21


(E?)(L1) http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/3825236366/etymologety0d-21


(E?)(L1) http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/3825236366/etymologpor09-20
Taschenbuch: 215 Seiten
Verlag: UTB, Stuttgart; Auflage: 1. Aufl. (18. April 2012)
Sprache: Deutsch


Kurzbeschreibung
Ziel dieses Buches ist die angewandte Einführung in die Grundthemen der Linearen Algebra für Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Schwerpunkte bilden die Matrizenrechnung (lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme), Vektorräume und lineare Abbildungen sowie die Methode der kleinsten Quadrate (mit Anwendung auf diskrete Fouriertheorie). Außerdem bietet der Text einen Einblick in den Einsatz numerischer Software zur Behandlung von komplexeren Berechnungen. Sowohl bei der Entwicklung der mathematischen Konzepte als auch in den zahlreichen Übungen wird auf eine anwendungsbezogene Heranführung an die Themen geachtet.


(E?)(L?) http://www.science-shop.de/artikel/1149844

Inhaltsverzeichnis


Erstellt: 2012-04

Wüstholz, Gisbert
Algebra
Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

(E?)(L?) https://www.jokers.de/artikel/buch/algebra_17370036-1

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der Text kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln.

2013, 2, 256 Seiten, 7 Schwarz-Weiß-Abbildungen, Maße: 14,8 x 24,1 cm, Kartoniert (TB), Deutsch, Verlag: Vieweg+Teubner, ISBN-10: 3834819611, ISBN-13: 9783834819611


Erstellt: 2016-04

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