amazon - Goldener Schnitt, Número áureo, Nombre d'Or, Sezione aurea, Golden ratio
Sezione aurea (IT)
The Fibonacci rhyme scheme is based upon the Fibonacci number. Fibonacci number names an integer in the sequence that begins 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, and continues infinitely.
The Fibonacci sequence is found in nature, in music, and yes, in literature. In case its code isn't obvious, we'll recount the pattern Italian mathematician Leonardo Fibonacci described eight centuries ago. Its first two terms are predetermined (1 and 1); each successive term is the sum of the two integers immediately preceding it.
So where does poetry fit in? We'll answer in the form of a "fib", the name coined by writer Gregory K. Pincus, the fellow who's been popularizing the 1, 1, 2, 3, 5, 8 syllabic form on the Web. Pincus says his first "fib" was this six-line effort:
One
Small
Precise
Poetic
Spiraling Mixture:
Poetry plus math yields the Fib.
The Fibonacci poem, or Fib, follows a pattern in which the first two lines count one syllable each, the third line has two syllables, the fourth line has three, the fifth five, and the sixth line has eight.
The Fib is a poetic form (in the mold of the unrhymed haiku), but it should not be described as a rhyme scheme. Rhyme scheme refers to the formal arrangement of rhymes in a stanza or poem. Rhymes—which come in many varieties—produce sounds that appeal to the ear and that are used to unify and establish a poem's form.
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F(1001) = 70330367711422815821835254877183549770181269836358732742604905087154537118196933579742249494562611733487750449241765991088186363265450223647106012053374121273867339111198139373125598767690091902245245323403501
How are Fibonacci numbers expressed in nature?
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In 1202, Italian mathematician Leonardo Pisano (also known as "Fibonacci", meaning "son of Bonacci") pondered the question: Given optimal conditions, how many pairs of rabbits can be produced from a single pair of rabbits in one year? This thought experiment dictates that the female rabbits always give birth to pairs, and each pair consists of one male and one female.
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Fibonacci Numbers/Lines
Leonardo Fibonacci was an Italian mathematician born in the 12th century. He is known to have discovered the "Fibonacci numbers," which are a sequence of numbers where each successive number is the sum of the two previous numbers.
e.g. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.
These numbers possess a number of interrelationships, such as the fact that any given number is approximately 1.618 times the preceding number.
Fibonacci number
Definition: A member of the sequence of numbers such that each number is the sum of the preceding two. The first seven numbers are 1, 1, 2, 3, 5, 8, and 13. F(n) ˜ round(Fn/v 5), where F=(1+v 5)/2.
Formal Definition: The nth Fibonacci number is:
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Displaying 1-10 of 2364 results found. page 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 237
A197896 : T(n,k)=Number of nXk 0..4 arrays with each element x equal to the number of its horizontal and vertical neighbors equal to 3,3,0,1,1 for x=0,1,2,3,4
1, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 12, 12, 3, 5, 31, 50, 31, 5, 8, 79, 180, 180, 79, 8, 13, 186, 745, 1141, 745, 186, 13, 21, 465, 3046, 7589, 7589, 3046, 465, 21, 34, 1131, 12531, 46988, 82343, 46988, 12531, 1131, 34, 55, 2776, 52188, 307547, 821491, 821491, 307547, 52188
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Fibonacci Numbers and the Golden Section
Pi and the Fibonacci Numbers
Surprisingly, there are several formulae that use the Fibonacci numbers to compute pi (p).
Here's a brief introduction from scratch to all that you need to know to appreciate these formulae.
Contents of this page
- How Pi is calculated
- Measuring the steepness of a hill
- But what does "a slope of 1 in 5" mean?
- The tangent of an angle
- The arctan function
- Gregory's Formula for arctan(t)
- Radian measure
- Gregory's series and Pi
- Using Gregory's Series to calculate Pi/4
- Using Gregory's series to calculate Pi/6
- Machin's Formula
- Another two-angle arctan formula for pi
- Pi and the Fibonacci Numbers
- The General Formulae
- Wetherfield's notation
- More formulae for two angles
- Lucas Numbers and a Formula for Pi
- More Series?
- Some Experimental Maths for you to try
- Finding more arctan relations for 1/N
- Arctan relations for M/N
- Reducing two arctans to one
- Research Problems
- Pi, Fibonacci and Phi
- More links and References
Fibonacci sequence
- Ceva's Theorem and Fibonacci Bamboozlement
- Fibonacci Nim
This script displays a Fibonacci sequence up to a certain number of calculations. It uses a lookup array to offset the large, recursive calculations needed to calculate large numbers, and is not too processor intensive. It is precise to 32 bits (78 iterations), after which the JavaScript interpreter rolls bits over.
- Fibonacci
- Fibonacci poem (or Fib)
- Fibonacci poetry
- Fibonacci sequence
- •Fibonacci
- •Fibonacci prime
- •Fibonacci sequence
Fraktale, Goldener Schnitt, Fibonacci und Sonnenblumen
In der Biologie findet sich eine Unmenge Mathematik - was eine gute Erklärung hat
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Wenn jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgänger ist, dann hat man nicht nur die Fibonacci-Folge, sondern auch eine Übersicht über den Aufbau einer Sonnenblume: Die stellt ihre Teilblüten nämlich in der Reihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... auf. Der Grund liegt aber weniger in einer verborgenen Zahlenmystik, sondern an dem Wirken des Pflanzenhormons Auxin und dem Streben der Pflanze, dass jedes Blatt so viel Licht als möglich bekommt. Schließlich sollen sich die Blätter ja nicht selbst überdecken.
So legt die Pflanze sie in dem größtmöglichen Abstand an. Das heißt zwar für zwei Blätter "gegenüber", doch ein drittes Blatt gerät in die Nähe der beiden anderen - ein 120-Grad-Winkel wäre die Lösung. Doch dann kommt das vierte, das fünfte - und darum muss der Winkel sich so selten als möglich stören.
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Was sind Fibonacci-Zahlen? Wie viele Flächen hat ein Dodekaeder? - Zeigen Sie im Jahr der Mathematik, dass Sie mehr als das kleine Einmaleins beherrschen!
Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen sind eine der bekanntesten Zahlenfolgen. Sie fangen mit 0 und 1 an, und dann ist jede Fibonacci-Zahl gleich der Summe der beiden vorhergehenden Fibonacci-Zahlen. Es gibt eine Vielzahl von Querbezügen zu anderen Objekten in der Mathematik: Eine explizite Formel (die Formel von Binet) setzt sie beispielsweise in Verbindung mit dem Goldenen Schnitt. Sie tauchen im Pascalschen Dreieck als Summen von Diagonalen auf. In der Kombinatorik erscheinen sie häufig. Und in der Natur kann man sie als Anzahlen von Spiralen von blattähnlichen Organen bei Pflanzen beobachten.
Diesen Text habe ich im Jahre 1997 geschrieben. Er enthält einen Überblick über einige interessante Dinge, die man mit den Fibonacci-Zahlen anstellen kann. Beweise habe ich nur für einige elementare, aber nicht offensichtliche Behauptungen eingefügt. Die anderen Beweise werden dem Leser überlassen, oder ich habe eine Referenz angegeben.
Der Text wurde mittels des Programmes latex2html von LaTeX konvertiert, aber von mir noch stark nachbearbeitet. Da sich html für mathematische Texte nur bedingt eignet, und ich versucht habe, das Einbinden von Bildern soweit wie möglich zu vermeiden, sieht der Text an vielen Stellen ziemlich zusammengestückelt aus. Es gibt ihn deshalb hier auch noch als Postscript-Datei (die html-Version enthält einige geringfügige Korrekturen):
- •Grundlagen
- ?Definition
- ?Die einfachsten Formeln
- ?Die Formel von Binet
- ¦Die Formel
- ¦Beweis durch Eigenwertrechnung
- ¦Das charakteristische Polynom
- ¦Folgerungen
- ¦Fibonacci-Zahlen mit Matrix-Subskript
- ?Fibonacci-Zahlen und Binomial-Koeffizienten
- ?Grenzwerte mit Fibonacci-Zahlen
- ?Die Inversen der Fibonacci-Zahlen
- •Zahlentheoretische Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
- ?Der ggT von Fibonacci-Zahlen
- ?Die Fibonacci-Folge modulo n
- ¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo n
- ¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo p
- ¦Die Verteilung der Fibonacci-Zahlen modulo n
- ¦Summen von Fibonacci-Zahlen modulo n
- ?Primitive Teiler
- ?Fibonomial-Koeffizienten
- ¦Definition
- ¦Stern-Konfigurationen mit ggT-Eigenschaft
- ?Fibonacci-Zahlen als Quadrat- und Kubikzahlen
- ?Die Fibonacci-Zahlen als diophantische Menge
- •Fibonacci-Polynome und Fibonacci-artige Polynome
- ?Fibonacci-Polynome
- ?Fibonacci-artige Polynome
- •Der Satz von Zeckendorf
- ?Der Satz
- ?Zeckendorf- oder Fibonacci-Sequenzen
- •Fibonacci-Bäume
- ?Der Stammbaum der Kaninchen
- ¦Der Stammbaum eine Drohne
- ?Die goldene Sequenz
- ?Der Fibonacci-Baum und die Zeckendorf-Darstellung
- •Fibonacci-Zahlen und Kombinatorik
- ?Als Anzahl der Zerlegungen in 1en und 2en
- ?Als Anzahl der Spiegelungen an zwei Glasplatten
- •Leonardo von Pisa und der Liber Abaci
- •Phyllotaxis
- ?Zählen von Spiralen
- ?Divergenzwinkel und Kettenbruchentwicklung
- ?Ontogenetische Modelle
- •Links, verwendete Literatur
Auf den gleichnamigen italienischen Mathematiker zurückgehende unendliche Zahlenreihenfolge, die vielfach im Markenmanagement bei der Festlegung von Proportionen (z.B. von Logos) oder Rhythmen (z.B. von Jingles) Anwendung findet; Leonardo Fibonacci (1170-1250) führte Mitte des 12. Jahrhunderts das arabische Zeichensystem ein, das die römischen Zahlen ablöste und entdeckte verblüffende Gesetzmäßigkeiten in Zahlenfolgen; bei der nach ihm benannten Summenzahlenreihe addieren sich die zwei, jeweils voran stehenden Zahlen zur nächsten: Zn = Zn-1 + Zn-2 Daraus ergibt sich der charakteristische Rhythmus 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. (vgl. hierzu auch > Ästhetik, > Stil und > Symmetrie)
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Euclid, in The Elements, says that the line AB is divided in extreme and mean ratio by C if AB:AC = AC:CB.
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The golden ratio to 10 million digits computed on December 2, 1996 on a SGI R10000 at 194 mHz.
With a third-order Newton iteration program in Maple written by Greg J. Fee.
The computation took 29 minutes and 16 seconds.
Computation conducted by Simon Plouffe.
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The term "golden section" (in German, "goldener Schnitt" or "der goldene Schnitt") seems to first have been used by Martin Ohm in the 1835 2nd edition of his textbook "Die Reine Elementar-Mathematik" (Livio 2002, p. 6). The first known use of this term in English is in James Sulley's 1875 article on aesthetics in the 9th edition of the "Encyclopedia Britannica". The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
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Create award-winning photos: The Golden Ratio sweeps the awards at international photo contest
Die goldene Zahl in der Astronomie, welche andeutet, das wievielste Jahr ein aufgegebenes in dem Mondzirkel ist.
Die goldene Zahl, in der Zeitrechnung, diejenige Zahl, welche anzeiget, das wie vielte ein gegebenes Jahr in dem Mondzirkel sey; wegen ihres großen Nutzens in der Berechnung des Osterfestes.
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Sie heissen so ("Goldene Zahl"), nicht, weil sie etwa - wie man annahm, mit goldenen Buchstaben in alten Kalendern geschrieben sind, und wie die sonstigen weit hergeholten Annahmen alle heissen mögen - sondern weil sie so hervorragend nützlich sind, wie z.B. der goldene Schnitt für die Mathematik, die goldene Ader für die Biotik, die goldene Mittelstrasse für die Lebensphilosophie.
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Fraktale, Goldener Schnitt, Fibonacci und Sonnenblumen
In der Biologie findet sich eine Unmenge Mathematik - was eine gute Erklärung hat
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Wenn jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgänger ist, dann hat man nicht nur die Fibonacci-Folge, sondern auch eine Übersicht über den Aufbau einer Sonnenblume: Die stellt ihre Teilblüten nämlich in der Reihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... auf. Der Grund liegt aber weniger in einer verborgenen Zahlenmystik, sondern an dem Wirken des Pflanzenhormons Auxin und dem Streben der Pflanze, dass jedes Blatt so viel Licht als möglich bekommt. Schließlich sollen sich die Blätter ja nicht selbst überdecken.
So legt die Pflanze sie in dem größtmöglichen Abstand an. Das heißt zwar für zwei Blätter "gegenüber", doch ein drittes Blatt gerät in die Nähe der beiden anderen - ein 120-Grad-Winkel wäre die Lösung. Doch dann kommt das vierte, das fünfte - und darum muss der Winkel sich so selten als möglich stören.
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DIN-Papier und Goldener Schnitt - Welches sind die günstigsten Seitenverhältnisse für rechteckige Papierblätter und Briefumschläge? Warum ist das Verhältnis der Seiten eines DIN-Blattes gleich Wurzel aus 2?
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Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.
Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.
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Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich im diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.
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Besteht der Bildaufbau aus verschiedenen Flächen (zum Beispiel Landschaft und Himmel), stellt sich die Frage, wie man die Bildfläche einteilt. Eine mittige Teilung empfiehlt sich nur für grafisch wirkende Aufnahmen, sie wirkt leicht langweilig und dilettantisch. Eine extreme Einteilung, bei der die Trennlinie sehr nahe an den Bildrand zu liegen kommt, wirkt auch unharmonisch, wenn sie die Bildaussage nicht unterstreicht. Am harmonischsten wird eine Einteilung im goldenen Schnitt empfunden. Die kleinere Fläche verhält sich dabei zur grössen Fläche wie die grosse Fläche zur Gesamtfläche. Das Teilungsverhältnis beträgt etwa 3:5.
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"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
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"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
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How to Draw a Pentagram
Il revient à la mode à la Renaissance. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrage intitulé "Divina Proportione", illustré par Léonard de Vinci: premier traité consacré pour une large part au nombre d'or. L'époque contemporaine fait une large place au nombre d'or, en particulier avec le peintre Sérusier et l'architecte Le Corbusier. Le peintre catalan Salvador Dali a également utilisé le nombre d'or dans sa peinture.
- Divine proportion Le nombre d'or
- Division en moyenne et extrême raison Le nombre d'or
- Pentagramme Le nombre d'or
- Section dorée Le nombre d'or
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The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
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- The Golden Ratio, Section or Mean
- The Divine Proportion
- The Fibonacci Series 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...
- and the golden number, Phi ( ) 1.618 0339 887...
GoldenNumber.Net exists to share information on the pervasive appearance of Phi, 1.618 ... , the Golden Ratio in life and the universe. Its goal is to present a broad sampling of phi related topics in an engaging and easy-to-understand format and to provide an online community in which new findings about Phi can be shared. Select an area of interest below or begin with Phi for NeoPhites or the Golden Ratio Overview article. Enjoy the 'phi-nomenon'!
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"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
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- Suites linéaires à coefficients constants, sans second membre - Ce sont, en particulier, les suites de Fibonacci, Lucas, Perrin, Padovan etc.
- Suite de Fibonacci et suite de Lucas
- Suites autogénératrices Suite de Kimberly, Fibonacci, Wythoff (basse et haute), écritures d'entiers évitant certains motifs, substitutions et morphismes.
- Suite des nombres de Keith - Ces nombres sont encore appelés Repfigits (repetitive fibonacci-like digits). La notion est étendue à d'autres bases de numération.
This is the Home page for Dr Ron Knott's multimedia web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string hosted by the Mathematics Department of the University of Surrey, UK.
Nature by Numbers
by Cristóbal Vila
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Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.
Kurzbeschreibung
Der Goldene Schnitt hat seit Jahrtausenden in der Mathematik und in der Kunst eine glänzende Rolle gespielt. Dieses Buch beleuchtet die schönsten Seiten des Goldenen Schnittes. Zunächst werden sowohl die Verbindungen zur Geometrie (reguläres Fünfeck, platonische Körper, Penrose-Parkette) als auch die Zusammenhänge mit der Zahlentheorie (Fibonacci-Zahlen) dargestellt. Daran anschließend wird beschrieben, wie der Goldene Schnitt bei der Analyse von Spielen eingesetzt werden kann. Nicht zuletzt werden die Verknüpfungen des Goldenen Schnittes mit der Natur (Pflanzenwachstum, Proportionen des menschlichen Körpers) und zur Kunst (Architektur, Malerei, Dichtung und Musik) behandelt. Das reich illustrierte Werk ist leicht verständlich; es eignet sich hervorragend zur selbstständigen Lektüre, aber ebenso gut zur Behandlung im Unterricht.