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Material

Namensschilder

Kalksteinchen (zum Zählen der Teilnehmer)

Dominosteine zur Veranschaulichung der Vollständigen Induktion.

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Methode

Karten - Zuruf - Diskussion - Gruppenarbeit - Präsentation

"§"
Zahl der Woche: "Eins"

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/@_/@_-z00001.html#Zahl 00001
Zahl 00001 in Alltag und Sprache

"§"
Mathematische Disziplin der Woche

Arithmetik

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/d_/de-arithm.html#Arithmetik


"§"
Zahlenmenge der Woche: "N"

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/d_/de-arithm.html#Peano-Axiome
Peano-Axiome

"§"
Aufgabe

Summe der Zahlen 1 bis 100

1. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 = 0*10 +  1
  2 = 0*10 +  2
  3 = 0*10 +  3
  4 = 0*10 +  4
  5 = 0*10 +  5
  6 = 0*10 +  6
  7 = 0*10 +  7
  8 = 0*10 +  8
  9 = 0*10 +  9
 10 = 0*10 + 10________________= 10*0*10 + 55
 11 = 1*10 +  1
 12 = 1*10 +  2
 13 = 1*10 +  3
 14 = 1*10 +  4
 15 = 1*10 +  5
 16 = 1*10 +  6
 17 = 1*10 +  7
 18 = 1*10 +  8
 19 = 1*10 +  9
 20 = 1*10 + 10________________= 10*1*10 + 55
 21 = 2*10 +  1
 22 = 2*10 +  2
 23 = 2*10 +  3
 24 = 2*10 +  4
 25 = 2*10 +  5
 26 = 2*10 +  6
 27 = 2*10 +  7
 28 = 2*10 +  8
 29 = 2*10 +  9
 30 = 2*10 + 10________________= 10*2*10 + 55
.............................................
100 = 9*10 + 10________________= 10*9*10 + 55
________________________________________________________
                               = 10*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*10 + 10*55
                               = 10*45*10                  + 550
                               = 4500                      + 550
                               = 5050


2. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 +   2 +   2 + ........... +  48 +  49 + 50
100 +  99 +  98 + ........... +  53 +  52 + 51
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 50 * 101
= 5050


3. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 +   2 +   2 + ........... +  98 +  99 + 100
100 +  99 +  98 + ........... +   3 +   2 +   1
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 100 * 101 / 2
= 5050


Hieraus kann man auf die allgemeine Formel n(n+1)/2 kommen.

"§"
Mathematischer Satz

Definition: Summenzeichen:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k


Satz: (Summe der Zahlen 1 bis n) = n(n+1)/2

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}


Beweis

Beweismethode: Vollständige Induktion

Aufgabe: Addieren der Zahlen 1 bis 100

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100\cdot(100+1)}{2}


"§"
Aufgaben

Summe der ersten n geraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2+n)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k = n^2+n


Summe der ersten n ungeraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k-1 = n^2


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra
weitere Bespiele für Beweise per Vollständiger Induktion:

Summe (i=1 bis n) von i**2 = n(n+1)(2n+1)/6 (Summe der ersten n Quadratzahlen)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}


Summe (i=1 bis n) von i**3 = (n(n+1)/2)**2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = {(\frac{n(n+1)}{2}})^2


Summe (i=1 bis n) von i**4 = n(n+1)(2n+1)(3n**2+3n-1)/30 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}


Summe (i=1 bis n) von i**5 = (n**2 (n+1)**2 (2n**2 + 2n-1))/12 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{(n^2)(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}





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Reserve

besonder Zahlen

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