Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology
DE Deutschland, Alemania, Allemagne, Germania, Germany
Mathematik, Matemáticas, Mathématiques, Matematica, Mathematics
Spaß an Mathematik 01

Umfrage

Welcher Aussage stimmen Sie zu?

Material

Namensschilder

Kalksteinchen (zum Zählen der Teilnehmer)

Dominosteine zur Veranschaulichung der Vollständigen Induktion.

Methode

Karten - Zuruf - Diskussion - Gruppenarbeit - Präsentation

Zahl der Woche: "Eins"

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/@_/@_-z00001.html#Zahl 00001
Zahl 00001 in Alltag und Sprache

Mathematische Disziplin der Woche

Arithmetik

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/d_/de-arithm.html#Arithmetik


Zahlenmenge der Woche: "N"

(E?)(L?) http://www.etymologie.info/~e/d_/de-arithm.html#Peano-Axiome
Peano-Axiome

Aufgabe

Summe der Zahlen 1 bis 100

1. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 = 0*10 +  1
  2 = 0*10 +  2
  3 = 0*10 +  3
  4 = 0*10 +  4
  5 = 0*10 +  5
  6 = 0*10 +  6
  7 = 0*10 +  7
  8 = 0*10 +  8
  9 = 0*10 +  9
 10 = 0*10 + 10________________= 10*0*10 + 55
 11 = 1*10 +  1
 12 = 1*10 +  2
 13 = 1*10 +  3
 14 = 1*10 +  4
 15 = 1*10 +  5
 16 = 1*10 +  6
 17 = 1*10 +  7
 18 = 1*10 +  8
 19 = 1*10 +  9
 20 = 1*10 + 10________________= 10*1*10 + 55
 21 = 2*10 +  1
 22 = 2*10 +  2
 23 = 2*10 +  3
 24 = 2*10 +  4
 25 = 2*10 +  5
 26 = 2*10 +  6
 27 = 2*10 +  7
 28 = 2*10 +  8
 29 = 2*10 +  9
 30 = 2*10 + 10________________= 10*2*10 + 55
.............................................
100 = 9*10 + 10________________= 10*9*10 + 55
________________________________________________________
                               = 10*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*10 + 10*55
                               = 10*45*10                  + 550
                               = 4500                      + 550
                               = 5050


2. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 +   2 +   2 + ........... +  48 +  49 + 50
100 +  99 +  98 + ........... +  53 +  52 + 51
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 50 * 101
= 5050


3. Ansatz der Summe von 1 bis 100

  1 +   2 +   2 + ........... +  98 +  99 + 100
100 +  99 +  98 + ........... +   3 +   2 +   1
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 100 * 101 / 2
= 5050


Hieraus kann man auf die allgemeine Formel n(n+1)/2 kommen.

Mathematischer Satz

Definition: Summenzeichen:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k


Satz: (Summe der Zahlen 1 bis n) = n(n+1)/2

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}


Beweis

Beweismethode: Vollständige Induktion

Aufgabe: Addieren der Zahlen 1 bis 100

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100\cdot(100+1)}{2}


Aufgaben

Summe der ersten n geraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2+n)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k = n^2+n


Summe der ersten n ungeraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k-1 = n^2


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra
weitere Bespiele für Beweise per Vollständiger Induktion:

Summe (i=1 bis n) von i**2 = n(n+1)(2n+1)/6 (Summe der ersten n Quadratzahlen)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}


Summe (i=1 bis n) von i**3 = (n(n+1)/2)**2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = {(\frac{n(n+1)}{2}})^2


Summe (i=1 bis n) von i**4 = n(n+1)(2n+1)(3n**2+3n-1)/30 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}


Summe (i=1 bis n) von i**5 = (n**2 (n+1)**2 (2n**2 + 2n-1))/12 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{(n^2)(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}





Reserve

besonder Zahlen

Feedback



A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z